Где открыть счет в зарубежном банке

Что вы имеете ввиду под словом "корректно"? Гражданин одной страны (ru) - получает прибыль на счёт в банке другой страны (tr), даже не являясь резидентом (tr)?  Или, просто переводить свои деньги со счёта на счёт, но в разных странах? Две большие разницы...

Подскажите альтернативные варианты или вы только критикуете здесь?

Вы и вопрос толком не задали. Что значит "зарубежный счет"? Под какие цели - самый важный вопрос. 

Оплачивать забугорные сервисы/хостинги.

Буквально 3 дня назад пробовал открыть в Литве в Šiaulių bankas. Сразу затребовали кучу доков и вежливо сказали, что лучше поискать другой банк.

Литва, пожалуй, один из наихудших вариантов в сегодняшних реалиях для резидентов РФ.

Я не очень понял в чем Вы увидели противоречие. В общем случае для того чтобы открыть счет в классическом банке надо быть резидентом страны где открываете счет  и при этом неважно какого цвета паспорт ( он вообще не нужен, достаточно ID ). Банк должен знать своего клиента и понимать источник его доходов. Исключение составляли граждане Украины - беженцы. Им без проблем открывают счета и без наличия резиденции.

Это совершенно не так. Паспорт обязателен, если ты не гражданин, банки спрашивают. Даже имея ВНЖ не каждый банк откроет счет, обязательна понятная цель зачем и чем человек занимается - работа, учеба, бизнес. И цвет паспорта сейчас важен, многие банки совсем не открывают счета гражданам РФ.

Я совсем недавно открывал два счета. Предоставил ID, водительское и свой налоговый номер. Паспорт не просили.   С тем, что банк должен понимать источник доходов будущего клиента абсолютно согласен и сам об этом же писал. Если Вы резидент страны, имеете там работу, платите налоги и Вам банк отказал в открытии счета только на основании цвета паспорта - смело к правнику и в суд. 

Почти во всех европейских странах банки ооочень пристально смотрят на того, кто принёс им деньги и какие это деньги. Т.е. в отличии от РФ Вы будете бегать за банком, а не банк за Вами как мы тут привыкли.