Анти БОТ

Ну в вашем случае только смена хостинга. Или уход с шареда.

Вы не обозначили, какая у вас цмс. В конфиге же у вас пути могут быть прописаны к домену старого сайта, другая база и проч. Конечно, нужно смотреть проверять, чтобы все было корректно. В случае с тем же вордпресс, потом в базе замену делать глобальную, для всех ссылок.
По самой базе данных, лично я обычно экспортирую и создаю новую, потом импорт. Просто на всякий пожарный случай, чтобы хранилась на компе, и все корректно встало на новом сайте.

Это я в целом не для вас писал, а в ответе для советчика.
Вы накосячите.

Просто перенесите через файловый менеджер там же в панели из папки в папку. Со старого на новый. Как советует выше знаток фастпанель.

Чем он некорректный? Тем, что вы о нем не знали? )

Для новичка да, пусть переносит. А то, что вы не способны упростить себе задачу и сидите ждете пока там файлы перенесутся из папки в папку, или скопируются, чтобы потом их же удалить из изначальной - это же ваши проблемы.

Поэтому выше написал, что сначала нужно через панель создать новый сайт. Все конфиги автоматом и создадутся. А потом уже лезть в файловый менеджер.

Это налог на лень, чему вы удивляетесь.
На четвертый раз вы поняли, что стоит потратить 30 мин. на изучение вопроса, и можно делать все самостоятельно. 

Так вы так и пишите - хостер берет вот столько-то за администрирование, с тех, кто ВПС взять додумался, а разобраться в опциях панели - принципиально отказывается.
Это не шаред, все что касается содержимого сервера - это целиком проблемы его арендатора.

А то написано так, как будто с вас владельцы фастпанели требуют по 30$ именно за сам факт существования каждого сайта в фастпанели. Добавили 10 сайтов, с вас мол 300 долл.

Добавляете нужный сайт через панель. Идете в папку с его названием, переименовываете. А в старом - меняете через файловый же менеджер адрес на новый. И наоборот с переименованным. Проверяете права, чтобы владелец не сбился, редиректните нжингс. И никакие файлы никуда гонять не надо. Но это может быть не ваш случай, т.к. нужно иметь хоть малейшее представление о том, что вы делаете. Да и нужно смотреть, есть ли в фастпанели такой функционал. В других панелях есть.

Ели нужно смотреть в целом Events, без привязки к конкретным правилам, то вот же.

Со стороны, читая про какие-это ивенты в каких-то правилах, не очень понятно, о чем речь. 
Лучше все-таки прикладывать скриншоты того, о чем идет речь.

Там есть форум, напишите вам помогут. Сомневаюсь, что здесь кто-то будет разбираться в том, что вы наворотили у себя на сервере.