Требования ТЗ

Более того, от разработчика требовали, чтобы он и продвижением занимался.

При настоящих ошибках сайт просто не работает как надо.
То о чем говорит ТС это варнинги и нотисы.
Их не должно быть очень много, но критерий "много" расплывчатый.
Они есть на любом нормальном сайте и если кто-то утверждает обратное - у него или хоумпейдж из одной страницы или он отчаянно хочет заманить к себе заказчика фантастическими рассказами:)

Как и с большинством фирм.
У фирмы юристы составляют договора, по которым фирма во всем права, даже если не права. При этом за этих юристов в итоге платит заказчик.
В современных условиях большинство фирм получив заказ тупо отправляются на фрилансерский сайт, нанимают там кого-нибудь (или берут негра на подряде) и спихивают результат заказчику, зачастую даже не проводя свой контроль (а зачем? заказчик сам же проверит).
Даже фирмы у которых есть штат - обычно сплавляют заказы на сторону, т.к. штат и так уже занят заказами по самые помидоры.

При ошибках уровня Warning сайт очень часто не работает как надо. При ошибках уровня Notice в некоторых случаях тоже что-то не работает.

Контентом разработчик не занимался - мы заливаем и пишем все сами. И с чего вы взяли, что он занимался продвижением? 

Да, вот об этом, собственно, и была речь с самого начала. Есть сообщения типа
PHP Warning
PHP Fatal error
PHP Parse error (здесь в основном syntax error)
а также  ошибки в БД

Где вы это видите? Что вызывает эти ошибки? У вас на сайте что-то не работает? Какой то функционал сбоит? Или вы просто логи где-то проверяете?

Вам же уже ответили. Если у вас не работает какой то функционал, вываливаются эти ошибки с фронта(ну, видны на сайте), тогда да, вы можете вполне обоснованно требовать их устранения. По простой причине - проект не работает. Если же вы где то там в логах что-то нарыли, а на сайте всё нормально, то это уже совсем другой разговор в котором масса неизвестных.

Так что на Ваш изначальный вопрос:

Нужно ли закладывать в ТЗ требование относительно того, что на сайте не должно быть ошибок в PHP?

Ответ - можно.

Вы как заказчик можете это требовать. Но вы как заказчик, должны быть готовы к тому, что такое требования разом отсечёт использование всех сторонних плагинов и потребует разработки всего функционала под вас с нуля. На бюджете это тоже скажется значительно. Одно дело поставить woocommerce и потом над ним колдовать хуками\фильтрами, совсем другое разработать его замену. На вопрос "а зачем разрабатывать с нуля" ответ простой. Откуда мне, как программисту, знать - выводит ли какой-то плагин варнинг\нотис или нет? Особенно если на это ещё накладывается то, что сайт не в вакууме "живёт" и мало ли, на какую древнюю VPS вы его засунете и хз что там за окружение\версия php\БД и прочего.

Разумно требовать отсутствие ошибок в фронте и полной работоспособности функционала. Это вообще-то подразумевается, но да, чтобы избежать некомпетентных исполнителей такое требование вполне можно добавить в ТЗ. Я даже видел такие ТЗ)

Всё остальное - от лукавого.

Ошибки могут возникать в 2 случаях :

1) Ошибка в коде, по недогляду, криворукости разработчика, такие должны однозначно правится за счет исполнителя

2) Ошибки в ТЗ - судя по ТС - он не является бизнес-аналитиком 

Кто вторые должен править? За чей счет. Мы тут слышим мнение только одной стороны, к сожалению

Возможно, я неправильно понял Ваши слова, но вроде как это было Ваше требование для вебмастера:

Однако вебмастер не занимается продвижением в индексе.

Веб-мастер не занимается продвижением - я согласна с вами. Но если из индекса выбрасываются сотни страниц вследствие ошибок (дубли,  вследствие неправильной  пагинации, страницы или целый раздел (в нашем случае вся директория /en),  к которым с какого-то перепугу закрыт доступ  в robots, или напротив, отсутствующие страницы, которые отдают код 200 вместо 404 ошибки - вот этим кто должен заниматься? Кто-то отдельно взятый или все-таки этот самый разработчик?