Яндекс не индексирует сайт на укр. хостинге.

Если с домена не отправляется почта вообще, то наплевать на эту запись.

Отправляется через плагин отправки почты.

Я делал выводы на основе вашего скриншота. Прикрепил.

1. Есть запись типа "A", с названием mail, включено проксирование CF.

2. Есть запись типа "MX", указывающая на mail.fingeniy.com. (то что в оригинале вы видите иначе - это просто из-за разных панелей, обозначает это тоже самое).

3. CF на скриншоте предупреждает, что для записи типа "A" включено проксирование и почта ходить в сторону домена не будет.

Если у вас отсутствует MX-запись или она некорректна, то удаленный почтовый сервер не поймет куда доставлять вам почту. MX служит не для отправки почты, а для принятия. Оставьте все как на этом скриншоте, единственное что нужно убрать проксирование для записи, которая выделена мной красным цветом.

Уберите все скрипты что в бане в Украине! GA + Гугл консоль вполне хватает. Возможно сперва не привычно будет, но потом привыкните. Главное, чтобы продажи были. Трафик с яндекса вам не нужен, так как это мусорный трафик и он только ресурсы хостинга будет забирать своими ботами.

Я уже начал отчаянный шаг и переезжаю на другой сервер

Спасибо, вы мне очень помогли.
Вот уже неделю сайт работает через Cloudflare, доступа к нему стало больше в целом.

Но 3 дня назад возникла проблема - пропал доступ конкретно у меня, с моего IP, с которого я его администрировал. Через ВПН - все работает.  Интернет-провайдер у себя проблем не видит, говорит, на хостинге. У других IP даже этого же провайдера сайт открывается.

Это может быть какая-то проблема в настройках Cloudflare? Можно там где-то выставить конкретно мой IP, чтобы его не блочили? 

Может это поможет? мало ли, ведь на админа повешен айпи?

https://www.easycoding.org/2013/08/12/nastraivaem-probros-ip-klientov-za-cloudflare.html

Попробовал внести указанную строку в файл wp-config.php - ничего не поменялось. Доступа администратора сервера у меня нет.