Можно ли использовать герб России на сайте?

Ну если на туалетной бумаге можно, почему нет?

В законах РФ содержаться ограничения на использование герба только на бланках документов и печатях. Ограничений на использование герба где либо кроме бланков документов и печатей нет.

При этом видоизменение герба может быть интерпретировано как надругательство над ним, поэтому лучше использовать оригинальное изображение герба без модификаций.

Что касается наименования "федеральное агентство новостей" - это фирменное наименование. Чтобы иметь право его использовать регистрируйте такое юрлицо. Причем фирменное наименование в отличие от товарного знака не обязательно должно быть уникальным - можно зарегистрировать юрлица с полностью идентичным наименованием но в разных субъектах федерации.

Теоретически право на использование фирменного наименования может быть ограничено с помощью товарного знака. Но не в данном конкретном случае - тут наименование "федеральное агентство новостей" не охраноспособно как товарный знак по своему классу.