Просветите по интеграции оплаты по картам - внутри и вне сайта

Первый раз интегрировали оплату по картам на сайт, опыта нет, и оказалось, что это работает точно так же как Paypal, т.е. юзер нажимает кнопку "Оплатить" и переходит на совершенно посторонний ресурс, там вводит номер карты, оплачивает и там его заказу присваивается совершенно посторонний номер.

Магазин небольшой и никаких амбиций особых нет, просто хочется понять, как и почему разнятся интеграции оплаты по картам. Почему на всех американских сайтах оплата производится внутри сайта, не уходя с него? Это зависит от оборота, от движка, от эсквайера? Просветите.

Не могу сказать, что мне очень не понравилось, как у нас интегрировано, просто на сайте эсквайера есть ошибки, которые я не могу заставить их исправить. Например, у нас написано "Оплата Visa/Mastercard, виртуальными картами Qiwi", а к ним человек переходит, ему уже пишут "Оплата картами, вебмани, киви-кошелек", хотя для нашего магазина это не активировано. Так а зачем писать. Потом, при оплате пишут "Пополнение зеленого счета". Вот, зачем юзеру эта лишняя информация? Все мы знаем, как пугаются юзеры, переходя из партнерского магазина на Озон. Здесь тоже похожая ситуация. Человек думает, что оплачивает товар на сайте "Веселые подарки", и вдруг "вы пополняете зеленый счет"... Потом, присвоение номера заказа в их системе. Хорошо ли это? Не запутается ли человек?

Объясните новичку, про внутри и снаружи. Спасибо.