Пришла претензия правообладателя по товару из партнерки Яндекс Дистрибуции

Это то же самое, если бы в контекстной рекламе на сайте вебмастера показывались бы фото с нарушением авторских прав. Вряд ли вебмастер мб виноватым в данном случае

Да, вы - информационный посредник. И вы должны убрать со своего сайта спорные материалы в течение 24 часов с момента получения жалобы. Т.е. в данном случае вы должны удалить спорные товары со своего сайта. Если в течение 30 дней они не были убраны, то вы уже пойдете в суд ответчиком не как информационный посредник, а как прямой нарушитель, так как продолжаете нарушать даже после того как вам указали на то, что это нарушение. Оно вам надо?

Я должен удалить, если спорный материал именно на Яндекс Маркете незаконно размещен, в этом случае да. Но мне должны предоставить доказательства незаконного размещения на Маркете. Разве не так? Или на Маркете все законно, а на моем сайте не законно? С чего бы это?

Вы отвечаете за свой сайт, а что происходит на других сайтах - не ваше дело. На ваш сайт прилетела претензия с требованием удалить конкретные товары. Вы обязаны это сделать, если не хотите судебных разборок уже как нарушитель, а не как информационный посредник. Правообладатель сам решает, на каком сайте может использоваться его торговая марка, а на каком не может. 

Это товар. Тут нет Авторских прав. Действует

ГК РФ Статья 1487. Исчерпание исключительного права на товарный знак
Не является нарушением исключительного права на товарный знак использование этого товарного знака другими лицами в отношении товаров, которые были введены в гражданский оборот на территории Российской Федерации непосредственно правообладателем или с его согласия.

Но если вы не готовы, так действовать. То лучше завершите ваш бизнес, потому что у каждого бренда есть держатель. И по каждому чиху вам придется все удалять.

P.S. Вот то что вы хотите, это не мое, это не я, это вот они, а как они докажут, а я просто, - это так не работает.(Им и доказывать ничего не надо, доказывать надо - вам)

Тут действует другое правило - у вас должны быть доказательства того что у вас есть право использовать. Статья ГК РФ Статья 1487, дает такое право. Но если вы не готовы её использовать, то у вас нет никаких прав, и вы должны все удалить. Но как я понял вы, далеки от "все этой юриспруденции". Поэтому - удалите. И все.