Закрывается окно и не показывает сообщение об успешной отправке (см. сайт)

Зашел. Ничего не заполнял. Просто нажал записаться - страница перезагрузилась. Нажал еще раз Записаться, а там показывает ошибки вроде: " Пожалуйста, заполните обязательные поля".

А где прерывание действия по умолчанию? Ну там   onclick = " event . preventDefault ( ) " например? Или в скрипте обработчике должно стоять.

Ну а если нет, то где-то вы форму обрабатываете. По идее, можно на этой странице окно и вывести. Сделать не  action="/#wpcf7-f12890-t1-o1" а  action="/?blablabla" и показывать там окно - что с формой произошло. Только от индексации бы закрыть это все.

Забыл. Можно же прямо перед перезагрузкой скриптом просто выдать alert("Заявка отправлена!");  Хоть и костыль, но проблему в какой-то мере решит.

Нашел в файле submit.php этот код и добавил event.preventDefault - не работает, либо я не понимаю логику. 

<div class="tg-tag"><?php echo esc_html( __( "Copy this code and paste it into the form left.", 'contact-form-7' ) ); ?><br /><input type="text" name="submit" class="tag" readonly="readonly" onfocus="this.select()" onclick=event.preventDefault()"/></div>

Скрипт у вас должен быть. Который обработает нажатие и форму...

Но раз его нет, то можете по успешной отправке пользователю просто показывать другое окно. Об отправке.