Вирутальный хостинг vs Thunderbird

ТС, хост-тариф видимо сосем у вас минимальный.

Если ресурсов выделено минимум, то imap как раз вас и валит и это правильно. Потому, что, он открывает соединения для каждого ящика и держит их. Используйте POP протокол, там не будут постоянно использоваться соединения и такой проблемы даже на малом тарифе не должно будет появиться.

А лучше, на каждом сайте настройте отправку почты на один ваш ящик (указав в теме url или другой признак откуда письмо), а в почтовике раскидывайте по словам из темы по папкам через фильтры. Либо, если вам не нужно по папкам сортировать - просто по теме будете знать откуда письмо.

Каждое соединение по протоколу imap - отдельный процесс.

Если у вас, например, 10 сотрудников и каждый сделает минимум по 2 соединения на ящик вот и получается, что число процессов очень большое.

Чем лучше Я.ПДД собственного почтового сервера на нормально хостинге (раз Вы пишете что вне зависимости от хостера) ? Чем грузин как я понимаю

Всё уже настолько плохо?

Где дают "собственный почтовый сервер" на шареде?

20 соединений - это большое число? А если у меня 1000 ящиков, то почтой я априори уже не должен пользоваться? При условии, что такое кол-во ящиков таки не запрещено заводить, надеюсь.