wordpress копировать пост с одного сайта на другой

Если "при нажатии на кнопку" подразумевает отправку одного поста при одном "нажатии", то можно для сайта-донора написать скрипт, который будет отсылать json c данными поста POST-запросом на целевой сайт.

А там - скрипт, который будет обрабатывать данные и добавлять пост.

Такое, конечно, лучше делать с какой-нибудь авторизацией.

Как вариант, можно для этих целей использовать штатный xml-rpc.

Если массово, автоматически и периодически, то можно так:

На сайте-доноре скрипт делает выборку постов по нужным критериям и отдает xml или json. Можно с обработкой GET-параметров, для гибкости. Например, дату указать или еще что..

На реципиенте - скрипт по крону обращается к вышеуказанному скрипту донора, получать и импортировать соответствующие записи (которые не были добавлены ранее)

Опять-таки, лучше с авторизацией.

Это все, в принципе, несложно.

Заморочки могут быть разве что с картинками. Если миниатюру можно получить с помощью api вордпресса, то картинки в теле поста придется парсить. Скачивать, куда-то сохранять (например, обязательно ли картинки должны быть в media library или допустимо произвольное расположение), да еще проставлять в теле публикации новые правильные урлы...

"На кнопку" - это не "автоматически" ;)

RSS из коробки, плагины кроспостинга.

Из экзотических вариантов - десктоп-клиенты постящие в несколько сайтов (есть даже аддоны для браузеров.)