Сервер без MySQL.

Для начала давайте определимся, обычный shared-хостинг это или у Вашего клиента свой сервер?

Если первое, то либо искать варианты без MySQL (CMS на файлах как вариант), либо переезжать. Но тут вопрос - есть ли вообще поддержка PHP, раз нет БД?

Если второе, то поставить что надо.

Делаете трассировку вашего айпишника, обратную запись, хуиз по сетке...

Получаете инфу по тому где живет сервер. Пхпинфо даст вам информацию об окружении. Можно попробовать через exec и т.п. попробовать выйти за грани и посмотреть конфигурацию более внимательно. Тогда будете знать почему собственно базу нельзя, где живет сервер и всё такое.

Если sqlite3 на сервере живой (а как правило он живой), то уходите в него и не морочьте себе голову. Даже у такого монстрика как вордпресс (а вы ведь судя по уровню вопросов именно на нем лепите?) есть настройки под sqlite3.

Можно и без всяких SQL делать хороший сайт, и у CMS без SQL есть свои преимущества. Не думаю, что клиента кто-то обманывал - обычно такой хостинг дешевле. Наоборот, меня удивляют трёхстраничные сайты-визитки на Друпале. Как говорится, стрельба из пушек по воробьям. Просто у Вас, как у мастера, должна быть готовность выдать решение в любой ситуации; и прежде, чем делать работу, не мешает ознакомиться с текущим положением дел - чтобы потом не говорить "я на 50% всё сделал, а у тебя MySQL нет".