GTM + GA одновременно

Здесь все подробно описано http://prometriki.ru/kak-ispolzovat-odnovremenno-kod-google-analytics-i-google-tag-manager/

Я это читал, там не об этом. Вопрос одновременного использования и корректного учета никак не раскрывается. Если это возможно в принципе, конечно.

А что мешает полностью перейти за раз на GTM и убрать код GA из кода страницы?

Отсутствие такого опыта и уверенности, что все настрою, как надо. Хотя думаю протестировать на некритичном сайте.

Наиболее корректным решением является использование или Google Tag Manager, или Google Analytics. Если Вы хотите использовать оба варианта внедрения, то учитывайте необходимость именования трекера, об этом я писал в материале, который указал swedjke.

Корректность данных в любом случае будет зависеть от многих факторов

Подскажите, пожалуйста. Я правильно понимаю, что, если мне надо повесить событие на кнопку, то GTM это делает через привязку к какому-то id или классу у этой кнопки? То есть, если верстальщик изменит этот id/класс, у меня слетит событие?

Верно, если настройку привязать к id или class при их изменении понадобится вносить изменения в настройки Google Tag Manager

А какие есть еще варианты привязки? Просто все преимуществом GTM называют возможность настраивать аналитику без вмешательства в код сайта. Но ведь код сайта все равно меняется. Верстальщик поменял что-то, и все слетело, а маркетолог даже и не в курсе. Или можно настроить какой-то мониторинг?

Все зависит от сложности сайта и от частоты внесения изменений в верстку. На практике есть крупные сайты, на которых все работает длительное время без проблем, есть небольшие, где часто что-то меняют и настройки нужно менять

Ну вот у нас часто меняют. Какой-то мониторинг может можно настроить? Например, если резко количество событий отклонилось за среднее за определенный период, приходит уведомление. Такое вообще возможно в GA/GTM?