Каким образом лучше получать данные с сайта?

Ваш сайт, или чужой?

Получать данные куда?

Сайт чужой.

Отправлять на обработку php скрипту.

Пробовал реализовать через fsockopen:

Пример на тестовом сайте

$fp = fsockopen("multeor.com", 80, $errno, $errstr, 30);
if (!$fp) {
    echo "$errstr ($errno)<br />\n";
} else {
    $out = "GET / HTTP/1.1\r\n";
    $out .= "Host: multeor.com\r\n";
    $out .= "Connection: Close\r\n\r\n";
    fwrite($fp, $out);
    while (!feof($fp)) {
        echo fgets($fp, 128);
    }
    fclose($fp);
}

В результате js скрипт не грузятся...

Вопрос на будущие, а можно к websocket подключиться и отправлять данные на обработку как только они поступают?

Пробую делать на phantomjs...

Как лучше это решать вам. Рекомендую использовать curl. Предположим класс: https://github.com/php-curl-class/php-curl-class или один из десятков других. Может быть какой фреймворк.