В шаблоне вордпресс куча <h1>, что делать?

Только один должен быть. Остальные убирайте.

Из верстки вообще все заголовки следует убирать, не только h1.

Ага, а тогда придется самому каждый раз для названия страницы прописывать h1.

ТС, посмотри в коде, какая строчка отвечает за вывод заголовка страницы в h1 - остальные удаляй. А вообще, лучше взять другой шаблон. Потому что, если в этом уже такие очевидные проблемы, то других косяков наверняка тоже хватает.

После переделки на главной странице не осталось ни одного <h1>. Cкажите нужен ли он вообще на главной странице?

Изначально Н1 был в шапке сайта, где написано название сайта, но для того чтобы избежать дублей заголовков я Н1 перенёс на название статьи и на название архива, в архивах.

testesteron, желателен и на главной. Сделайте проверку на главной странице, через is_front_page () вроде. Если главная - пусть h1 будет в шапке. В остальных случаях - так как у вас сейчас да и все.

Главное, не пропустите тот момент, что некоторые шаблоны Вордпресса, заточены под блог, и H1 рассчитан на каждый пост. То есть, H1 на каждом посте, не вредит, и даже нужен.

Не нужно утрировать, заголовки нужны для контента, но не для оформления дизайна, подразумевалось только это.

Так и сделаю