Различает ли яндекс падежи, рода?

Различает.

И синонимы понимает.

И транлситерацию.

И перевод (в частности, на английский, на других не проверял).

И ошибки в правописании.

И (зло)намеренные ошибки/опечатки - тоже (типа нфтвуч).

Подробнее можно?

А какие подробности нужны?

Утверждать что-либо наверняка касательно алгоритмов Яндекса невозможно. Только на личном опыте.

Я экспериментировал с названиям страниц сайтов.

Названия типа "free_download" воспринимаются Яндексом примерно так же, как и "skachat_besplatno". И "Kepler - Кеплер" Яндекс понимает, как одно и то же по смыслу.

это называется словоформа. Да различает

serval, Сегалович говорил, что у них огромное количество данных, и многие вещи они определяют на основе статистики.

По-моему, снятие омонимии основывается как раз на статистике употребления слов и близости их друг к другу. Вот например:

Лечу в москве горло: находится несколько документов со словоформами "лететь", они подсвечиваются. Ни "лечение", ни "вылечить" не подсвечиваются, хотя в сниппетах есть.

Лечу горло в москве: исключительно словормы от "лечить", никаких документов про полеты нет. "Лечение" и "вылечить" начали подсвечиваться.