Возможно ли такое?

да, в гугле практикуется, в Яндексе... вопрос...

Ну если в гугле, то, думаю, и в яше тоже. А что, если самому, нацеленно заходить на свой сайт с ПС через определенный, нужный мне запрос?

Читаем ОЧЕНЬ внимательно

Тема может от сниппета зависеть. Сайты по одному и тому же запросу могут освещать совершенно разные вопросы. Как например по запросу "Санкт-Петербург" на 1 месте вылезает официальный сайт администрации, потом новостной, потом туристический. И если человеку нужны достопримечательности, то он всяко сразу на 3ю позицию кликать будет, а не на первые две. Так что выгода от этих мест может быть очень относительной.

Про ваш пример. Если вам интересны посетители интересующиеся баном в игре Тривиан, то можно спокойно удовлетвориться 3м местом и не думать про 1е. И если фанатов банов в Тривиане будет гораздо больше фанатов бана Гугла, то 3е место будет приносить больше посетителей нежели чем 1е.

Это просто первый попавшийся пример.

Ну это слишком глобальный запрос. Чаще ищут по более узким запросам, например, администрация Санкт-Петербурга" или "Продажа автомобилей в Санкт-Петербурге"

Яндекс уже давно при клике передает к себе информацию (по кукам не засекал - учитывается ли там тоже): на какой странице кликнули, по какой позиции (там ид этой позиции), еще что-то + куки. Вообщем - мониторит уже достаточно давно.

Проводили эксперимент (на нулледе) — но что-то желающих было мало.