Как перенести содержимое каталога по ssh?

Очевидно, что ошибка в пути. Он жи пишет, что не существует этого файла или директории

Так ты уже в каталоге  public_html 
тебе нужно что-то типа mv * /path/to/move

А вообще правильно указывать пути и источнику и куда копировать полностью, тогда будешь уверен что не промахнулся. и переходить в копируемый каталог не нужно

Запускаешь оболочку командой mc
Пользуешься обычным графическим интерфейсом с нормальной навигацией, командами и редактором.
В некоторых случаях может потребоваться установка и настройка, что не сложно.

А поюзать FileZilla не пробовали? Там даже пятиклассники понимают как переносить директории и даже видят, есть такая или нет )

Проблема не в SSH, а в путях: ты ушёл в рекурсию /home/user/web/site.com/public_html/home/user/... — его, естественно, нет.

Делай без лишних cd, если:

# тот же сервер
mv /home/user/web/site.ru/public_html/* /home/user/web/site.com/public_html/

# между серверами
rsync -azP /home/user/web/site.ru/public_html/ user@ip:/home/user/web/site.com/public_html/ 

rsync сохранит права и покажет прогресс, плюс можно добавить --remove-source-files, чтобы сразу очистить исходник. Проверяй путь табом.

думаю это просто кривая копипаста. А проблема да, в путях - само копирование пытается найти директорию, которую не может видеть, потому что уже в ней.

можно и попроще - scp