Домен и поддомен на разных серверах

Спрашивай конкретнее. Что означает фраза "перенести"? Что перенести -  файлы, базу данных?
Чтобы оставить сайт на прежнем сервере, вообще ничего не надо делать.

А если хочешь, чтобы поддомен остался по старому IP-адресу после переноса основного домена на новый адрес, прописывай для поддомена соответствующую запись в DNS.

Вопрос именно про ДНСы. Что и где прописывать.

Вопрос не про файловый перенос. Сорри, что не уточнил.

DNS-записи для forum.site.ru должны быть старыми и продолжать указывать на старый IP по логике.... наверное тебе и трогать ничего не надо... просто  site.ru переноси и все...

хотя хз... я никогда так не делал...

1. Переносите основной сайт на другой сервер

2. В DNS, запись A у основного сервера пишите новый IP

3. Проверяете, чтобы у поддомена forum А запись осталась для старого сервер, а то бывает там CNAME стоит

А если у регистратора нет изменения записи А? Только DNS.

Можно воспользоваться ДНСами регистратора или указать NS-серверы от нового сервера, куда будет размещен site.ru, а в днс-записях на этом сервере добавите А-записи forum.site.ru и www.forum.site.ru со старым айпишником, т.е. тем, где и размещен forum.site.ru.

У регистратора то может и нет, а вот у вашего хостинг провайдера, куда подключен сайт да. Поэтому DNS вы будете править, скорее всего, у вашего старого хостера, где остаётся форум.

Отправил в личку пример 

Запись А - это тоже запись  DNS.
Наверное, имеется в виду "делегирование на NS-серверы". Вот там, куда делегировали, и надо править записи DNS.

Чьи NS указаны для домена? Там и нужно вносить изменения в DNS-записи.