Нет главной страницы сайта в выдаче Яндекса. Да как так-то????

Обычная история для многих сайтов, у которых главная страница, собственно, ни под какой запрос не оптимизирована и фактически не имеет собственного трафика.

проверяем главную на релевантность по запросу

Странно. Всегда думал, что страницы при таком запросе ранжируются по весу страницы на сайте, а у главной он, как ни крути, самый большой.

Дык запроса-то и нет... Просто "site:url.ru", какой тут запрос?

Яндекс использует Browse Rank, в котором узлы графа объединяют не ссылки, а клики. Иными словами, это про ПФ, не про ссылочное. Так что если есть проблема с брендовыми запросами, соответствием главной какой-то важной группе ключей - то чего её, эту главную, в приоритете на выдаче показывать?
Это всё гадание по кофейной гуще, но с большой степенью вероятности причины - в этом. Сами оценивайте, сколько трафа и по каким ключам у вас принимает главная, сравнивайте с конкурентами - возможно, ключ здесь.

Ещё может быть фильтр за переспам и за накрутку.

Нет. Об этом логично можно подумать, но это не так. Если вы спросите об этом Яндекс, они вам об этом скажут. Я в своё время спрашивал.

Главная действительно может выпадать или находиться где-то в глубине списка, когда у страницы не хватает кликовых факторов и ссылочного веса. Я такое нередко наблюдаю у новых сайтов. Бывает такое, например, быстроробот обходит внутренние и они залетают в индекс, а главной нет, но потом спустя время появляется.

В процессе работы над сайтом, ситуация нормализируется, но справедливости ради надо сказать, что при пессимизации главная действительно может проседать по внутреннему поиску.   

Есть ли какой-нибудь способ проверить - имеется ли  пессимизация или нет?

P.S Платоны уверяют что все хорошо и то что главная болтается на 10 странице ничего не значит.

Нет. Грубо говоря, вы где-то выхватываете rel-, и вероятно, даже не по одной группе метрик. Это не наказание, это фильтрация, которую вы не проходите для выхода на уровни повыше.
Ну тупо: мы сюда берем посонов от 1.80 см и с высшим физкультурным образованием, а у вас 1.78 и только колледж. Прочее - в порядке, иначе вас бы и в топ-100 не было.

Так чтобы был такой сервис и он явно покажет, что вот пессимизация, а служба Яндекса на основе данных сервиса подтвердит - такого нет.

Ситуации бывают разные, на Серче каждую неделю появляются вопросы - я вот тут создал сайт, добавляю инфу, но сайт до сих пор не приносит трафика и слабо ранжируется, - здесь надо отделять желаемое и действительное.

Если сайт в течение нескольких месяцев стабильно рос и вы чётко понимали, что делается, а потом по конкретным запросам происходит провал и несколько недель эта аномалия наблюдается, то здесь - да, вполне может быть санкция.