Важно ли наличие H1 для главной странице?

зависит от тематики и конкурентов...

лучше не упускать h1 конечно

да у тебя и h4 надо в h3 превратить и главное все это иерархически выстроить

Это плохо дружище

главная - двигается под что-то или нет?

Из каких соображений его нет? Вдумайтесь в аббревиатуру HTML и её расшифровку: язык разметки гипертекста. И зачем вы так страницу разметили? Что хотели сообщить отсутствием главного заголовка?

Наверное, более правильным будет придерживаться иерархии заголовков. То-есть, если заголовок указывает на документ - он верхний (h1), если на блок - он ниже верхнего (h2), если на блок в блоке - он еще ниже (h3). Если пропускать h1, и переходить сразу к h2, теряется весь смысл этих тегов - иерархия.

Размер шрифта и визуальное оформление можно указать любое с помощью CSS. Причем, не обязательно каждый верхний уровень должен иметь размер шрифта больше за нижний. Это частая ошибка, когда структуру заголовков (h1, h2, ...) подстраивают под визуальное оформление. Ведь HTML разметка это именно разметка документа и его структуры, а не стилизация.

Кстати, начиная W3C спецификация для начиная с HTML5, рекомендует использовать позициионирование иерархии заголовков относительно семантичных блоков (article, section, main, aside), а не относительно тела документа (body).

Например:

article

----h1

--------h2

aside

----div.widget

--------h1

То-есть, h1 может присутсвовать более одного раза в документе.

Поисковые системы, учитывают не только название тега (h1, h2, ...), но также контекст, в котором они упоминаются и размещение относительно начала страницы (выше - важнее).