Конкурент вписал название магазина себе на сайт

Название компании

Скорее всего ничего не будет если конкурент перечислил названия брендов конкурентов, так бы все сайты забанили бы там где например авито упоминается, а вот если логотип разместил то уже можно что-то сделать.

Вы точно знаете, что такое "Товарный знак"? И что название организации не имеет никакого отношения к этому понятию?

Да знаю. не правильно выразился.
В общем есть логотип с названием к примеру "SEO SAn" везде это название висит на билбордах. Конкурент ввел у себя ключевой заброс с этим же названием SEO SAn у себя на сайте

Это не ТМ. Это "Горячие пирожки от Люды".

ТМ в РФ это прохождение процедуры по https://rospatent.gov.ru/ru/stateservices/gosudarstvennaya-registraciya-tovarnogo-znaka-znaka-obsluzhivaniya-kollektivnogo-znaka-i-vydacha-svidetelstv-na-tovarnyy-znak-znak-obsluzhivaniya-kollektivnyy-znak-ih-dublikatov

И название магазина SEO SAn тоже  "Горячие пирожки от Люды"?

Так и есть, если не было регистрации товарного знака. Название вашего магазина, если оно не зарегистрировано в качестве товарного знака, может использовать кто угодно и где угодно.

Какие-то ваши права в этом случае могут быть нарушены,  если кто-либо представляется от вашего имени с использованием ИНН, точного адреса и т.п.

Естественно. Чем они отличаются кроме другого набора букв? Бумажка с печатями на право использование этого набора есть? Нет - давайдосвидания.

Если права зарегистрированы, то можете попробовать сначала оф.жалобу конкуренту кинуть с указанием регистрационного номера. Пару раз помогало убрать название компании из рекламы конкурентов. Без суда. Жалобу лучше писать серьезную, упомянуть про введение в заблуждение потенциальных покупателей и использование товарного знака  без разрешения правообладателя. Но это в случае если бумага, о которой выше писали у вас есть. Если нет, то пользователь выше прав...

Каким методом ввел запрос, он в статье указал, в шаблоне, то в с каким посылом. Если просто указал,э, то не вижу проблематики