Посоветуйте что можно сделать

По мнению прокурора именно такая позиция занимается, и единственное, что может создать такое впечатление (опять таки по его мнению) - это фотография вывески, которую он называет логотипом. На вывеске просто текстом название госструктуры, логотипа нет. Это изображение используется в шапке сайта. Вторым пунктом идёт "неактуальность информации". На сайте нет никаких форм по сбору информации личной, только поля логина и пароля для авторизации на сайте для написания комментариев.

Это серьёзно. И дело не в логотипе.

Теперь ситуация становится немного яснее. И впечатление теперь не только по его мнению.

Потом выяснится, что и в теле домена прямо или косвенно "текстом" название госструктуры?

Объясните, для чего в шапке своего сайта текстом или графическим файлом делать отсылки на любую структуру, компанию или организацию, отношение к которой не имеете? Вы же понимаете, что прямо или косвенно вводите в заблуждение часть посетителей своего сайта? Думаю любой индивидуум, но не уникум, понимает, что указывая в шапке сайта текстом или изображением название ФCБ, ЦPУ, ПАРАМАУНТ ПИКЧЕРЗ или Детский сад "Ромашка", ГорГаз и даже "Булошная", не имея при этом к ним никакого отношения, так или иначе вводит посетителя в заблуждение.

Спросите "а как же быть, если я просто рассказываю об этой компании, структуре, организации, просто делюсь информацией"? А всё просто: вы как минимум на самом видном месте размещаете не вывеску/логотип/название, а пишете, что "ваш сайт не имеет никакого отношения к этой организации, но имеет цель довести до посетителя ту или иную информацию". Тогда и в суде истец обломается, а ваш сайт продолжил бы "делиться информацией", а не "вводить посетителей в заблуждение". Умышленно это или не умышленно, но это легко доказуемый в суде факт.

так все равно могут придраться, просто в материале дела не упоминать о том, что на сайте есть такая информация. как тогда доказывать? обращаться к хостеру о запросе полугодичной-годичной давности копии? не думаю что бекапы так долго храняться

Вы не поняли смысл цитируемого. Возможно у вас аналогичная с тс ситуация, оттого не совсем понятно что делать и как понимать. Перевожу: речь о том, что если на видном месте размещается логотип/название, которое однозначно вводит в заблуждение неискушённых пользователей (перевод: часть пользователей/посетителей), то лучше бы вместо лого/названия был бы поясняющий текст/предупреждение. Тогда шансов на приглашение в суд или блокировку сайта/домена будет намного меньше.

Рецепт не новый и всем известный: редирект 301 на новый домен. Но на новом сайте не должно быть противозаконных элементов. Где-то в течение месяца всё перейдёт на новый сайт.

Вот с этого момента поподробнее. Зарегистирую я новый домен, что делать в вебмастере, что делать в панели управления ISPManager?

Сначала прописываете редирект 301 со старого домена на новый, потом оформляете переезд в вебмастере.
И делать это надо до того, как потеряете старый домен.