Как сделать "липким" логотип, чтобы двигался вместе с меню (см. сайт)?

position: fixed;

и размеры задать с расположением. Только сам логотип нужно в липкое меню поместить

Логотип крайне желательно оставить на месте и сделать еще один маленький, появляющийся при прокрутке рядом с меню слева. Можно ли так сделать?

Вы видели как ваше меню "прыгает" при прокрутке? Ужас ведь

После обновления по F5? Да, видел, не смог решить. Плагин кеширования помог бы? Он стоял раньше, но почему-то деактивировал его.

Сделать меню статичным, и при прокрутке добавить position:fixed или position:sticky через JS. 

если надо делать по-человечески, то в меню добавляют еще один такой логотип, но пока оно отлеплено, логотип скрывают, а когда оно лочится, логотип показывается.
Вешается всё это на один класс с прилипанием.

заниматься садо-мазо с position:fixed в данном случае не имеет никакого смысла.